Gelfand and exchange rings their spectra in point free topology

Abstract

يتعلق هذا البحث بحلقات جلفاند والحلقات المتبادلة A بدلالة طيفياتها من حيث نظيراتها الخالية من النقط وإطارات RIdA للمثاليات الجذرية وJRIdA للمثاليات الجذرية لجاكبسون حيث يسمح هذا الاتجاه بدراسة مستقلة عن أي اختبار للأساسيات ومع هذا تؤدي إلى نفس النتائج عند استعمال الاختيار التابع والنتائج التي حصلنا عليها هي أعم وأشمل وينتج عنها كل ما هو معروف في هذا المجال وعلى وجه الخصوص فإن حلقات جيلفاند تتميز بطبيعة الـ RIdA حيث أثبتنا ما يلي الحلقة تكون حلقة تبادل إذا وفقط و(إذا) هي حلقة جيلفاند ذات البعد صفر JRIdA الحلقة تكون حلقة تبادل إذا وفقط إذا وفقط إذا هي حلقة ذات عناصر global التي نسميها حلقة محلية مدعمة جيدا في الـ Topos والـ sheaves في إطار منتظم مضغوط الحلقة تكون حلقة تبادل إذا وفقط إذا هي حلقة ذات عناصر global لحلقة محلية في الـ Topos والـ sheaves في إطار مضغوط ذي البعد صفر هذا وقد قمنا بتقديم تحليل لاختبار الأساسيات المطلوبة في بعض الأعمال السابقة في هذا المجال

This paper deals with Gelfand and exchange rings A in terms of their spectra the latter understood not in the usual sense as the spaces of prime or maximal ideals but as their pointfree counterparts the frames RIdA of radical ideals and JRldA of Jacobson radical ideals This approach permits a treatment which is independent of any choice principles but which still leads to the same kind of results as those obtained in the classical choice dependent setting Further the present results are more general ; they imply the classical ones In particular Gelfand rings A are characterized by the normality of RldA and we show that A ring A is an exchange ring iff it is Gelfand with zerodimensional JRldA ; A ring is Gelfand iff it is the ring of global elements of what we call a wellsupported local ring in the topos of sheaves on a compact regular frame ; and a ring is an exchange ring iff it is the ring of global elements of a local ring in the topos of sheaves on a compact zerodimensional frame In addition we provide an analysis of the choice principles required in some previous work in this area