Subcritical nonlinear dissipative equations on a halfline

Abstract

سوف ندرس في هذه الورقة الوجود الشامل لحلول مسائل قيمة الحد الأولية للمعادلات اللاخطية المتبددة دون الحرجة، وسلوكها على فترة زمنية كبيرة ut N(u ux) Ku 0 (x t) R × R u(x 0) u0(x) x R j 1 x u(0 t) 0 for j 1 m2 حيث يعتمد الحد اللاخطي N(u ux) يعتمد على الدالة المجهولة u ومشتقاتها ux، ويحقق المتراجحة |N(u v)| C |u| |v| وحيث 0 1 وكذلك ( 1)n 22n < 1 نعرف المؤثر الخطي K(u) كالتالي Ku _mjn aj jxu حيث الثوابت an am R و nm أعداد صحيحة، و m> n إن الهدف من هذه الورقة هو إثبات الوجود الشامل لحلول قيمة الحد الأولية (1) وقد أوجدنا الحد الرئيسي للتمثيل المقارب للحلول في الحالات دون الحرجة عندما يكون للحد اللاخطي للمعادلة نسبة تحلل زمني أقل منه في الحدود الخطية وسوف نعطي أيضا طريقة عامة للحصول على وجود الحل لمسائل قيمة الحد الأولية للمعادلات اللاخطية دون الحرجة، ونشرح الشروط الكافية العامة لحصول توسع مقارب للحلول

In this paper we are interested in the global existence and large time behavior of solutions to the initialboundary value problem for sub critical nonlinear dissipative equations ut N(u ux) Ku 0 (x t) R × R u(x 0) u0(x) x R j 1 x u(0 t) 0 for j 1 m 2 where the nonlinear term N(u ux) depends on the unknown function u and its derivative ux and satisfy the estimate |N(u v)| C |u| |v| with 0 1 such that ( 1)n 2 2n < 1 The linear operator K(u) is defined as follows Ku m jn aj jx u where the constants an am R nm are integers m > n The aim of this paper is to prove the global existence of solutions to the initialboundary value Problem (1) We find the main term of the asymptotic representation of solutions in sub critical case when the nonlinear term of equation has the time decay rate less then that of the linear terms Also we give some general approach to obtain global existence of solution of initialboundary value problem in sub critical case and elaborate general sufficient conditions to obtain asymptotic expansion of solution