The basis property of SturmLiouville problems with boundary conditions depending quadratically on the eigenparameter

Abstract

We study basisness of root functions of SturmLiouville problems with a boundary condition depending quadratically on the spectral parameter We determine the explicit form of the biorthogonal system Using this we prove that the system of root functions with arbitrary two functions removed form a minimal system in L2 except some cases where this system is neither complete nor minimal For the basisness in L2 we prove that the part of the root space is quadratically close to systems of sines and cosines We also consider these basis properties in the context of general Lp

ندرس في هذا البحث تكون قاعدة الاقترانات الجذرية لمعضلات ستورمليوفيل تحت الشروط الحدية ذات الاعتماد التربيعي على المعاملات الطيفية وقد حددنا بوضوح شكل النظام ثنائي التعامد، ومن ثم استخدمناه لإثبات أن نظام الاقترانات الجذرية بحذف اقترانين اعتباطيين يكون نظاما مصغرا في L2، فيما عدا بعض الحالات التي لا يكون فيها النظام كاملا أو مصغرا ومن تكون القاعدة في L2 أثبتنا أن جزءا من فضاء الجذر يكون قريبا على شكل تربيعي من نظام الجيوب وجيوب التمام كما أننا درسنا صفات هذه القواعد من خلال تعميم Lp