A tutorial on how to efficiently calculate and format tables of the binomial distribution شرح تعليمي عن كيف تحسب وتشكل بكفاءة جداول التوزيع ذي الحدين

Abstract

Owing to the importance of the binomial distribution tables for its probability mass function (PMF) and its cumulative distribution function (CDF) have been extensively published This paper presents a tutorial on a novel technique for constructing and recording these tables The tables are to be compiled with a high precision and a minimal roundoff error through the use of highly efficient iterative algorithms based on binary recursive relations for the PMF and the CDF The computational cost for each additional table entry is merely a single multiplication plus two additions This remarkably low cost is due to the fact that each entry is computed in terms of exactly two preceding entries Certain symmetries and limiting values are noted thereby allowing a considerable reduction in the number of listed entries Table entries are given in compact forms of fixedpoint or floatingpoint format with an objective of minimizing the numerical uncertainty that arises when representing an entry in a limited field width ie when using a limited number of digit or character positions This kind of novel format is crucial for accurate evaluation of probabilities associated with ultrahigh reliability systems or with very rare events

نظرا لأهمية التوزيع الاحتمالي ذي الحدين، فإن كلا من جدولي دالة الكتلة الاحتمالية (د ك ح) ودالة التوزيع التراكمي (د و ر) له قد جرى نشرهما على نطاق واسع تقدم ورقة البحث شرحا تعليميا لأسلوب مبتكر لإنشاء وتسجيل هذين الجدولين ويمكن تجميع الجدولين بدقة عالية مع تصغير أخطاء القطع إلى أقل ما يمكن، وذلك من خلال استخدام خوارزميتين تكراريتين ذواتي كفاءة عالية تعتمدان على علاقات المعاودة الثنائية لدالتي الكتلة الاحتمالية والتوزيع التراكمي وتقتصر الكلفة الحسابية لكل مدخل جدولي إضافي على عملية ضرب واحدة، بالإضافة إلى عمليتي جمع فقط ويرجع الانخفاض الملموس في هذه الكلفة إلى حقيقة أن كل مدخل يتم حسابه بدلالة مدخلين اثنين سابقين له وقد جرت ملاحظة بعض أنواع التماثل وبعض القيم النهائية، مما أدى إلى تخفيض ملحوظ في عدد المدخلات المدرجة وقد أعطيت مدخلات الجدولين في صيغ ملمومة تستعمل شكل العلامة الثابتة أو شكل العلامة المتحركة، وذلك بهدف التصغير الأعظمي للريبة العددية التي تنشأ عند تمثيل المدخل في حيز ذي اتساع محدود، أي عند استعمال عدد محدود من منازل الأرقام العشرية أو المحارف ويعد هذا النوع من الأشكال المستحدثة ذا أهمية بالغة للتقدير الدقيق للاحتمالات المستخدمة في النظم ذات المعولية فائقة العلو أو لتلك المستخدمة مع الأحداث شديدة الندرة